摘要：本文探索一种通过可视化帕累托边界衡量跑力的方法。

背景

帕累托有效性（Pareto efficiency）是一个经常出现在多目标优化问题中的概念。

比如，给你一个改变人设的机会，通过随机扔筛子，重置自己的智力的体力两个属性。你可以扔十次，然后从中间选择一个自己满意配置，重启人生。

大多数人可能会纠结，我们是要头脑发达一点，还是要四肢发达一点，这是个偏好问题。但无论你是谁，作为一个理智的决策者，一定可以先排除一些明显不是最优解的配置，而剩下的那些配置，则形成了一条边界，就是帕累托边界（Pareto frontier）。如果在帕累托边界上做选择，就是符合怕累托有效性原则的。

举个例子，如果把智力和体力用数值量化，越高越好，假设你得到了这几个方案：A(10, 5), B(5, 10), C(3, 3)。正常人会直接排除 C 方案。

如果对于两个目标来说，都是越大越好，则帕累托边界是向右上突起的。如果两个目标是越低越好，则帕累托边界是向左下凹进去的。

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%95%E7%B4%AF%E6%89%98%E6%9C%80%E4%BC%98

虽然在帕累托边界上的点，我们很难衡量其好坏，但帕累托边界所包裹的面积（可行解），通常是越大越好 —— 总体来说更有潜力。

跑步

严肃跑者每天必然和很多数据打交道。哪怕是🔗专注当下^[1]的跑者，也需要不时去参加一些比赛，通过统一的赛道与环境，衡量自己在人群中的水平。

跑者关心的数据

这些数据里面，距离和配速尤为重要。要知道自己的锻炼是否有效果，就不能一味埋头苦练，需要不时去测量，并做准确的记录。

这两个指标，正好组成一个多目标优化问题：大家都希望自己跑得更快，跑得更远。然而，更远和更快，本身是两种不同的技能，有种鱼与熊掌不可兼得的感觉。主要是因为，在不同的距离和速度下，主要做功的肌群不同，身体燃碳和燃脂的比例也不同（延伸阅读：🔗运动科学101^[2]）。更进一步，对于长距离耐力运动来说，距离越长，会面临更多的意外因素，打乱计划，也会影响整体完成时间（延伸阅读：🔗超跑笔记 | on track^[3]）。

基于这个特征，我们把一位跑者的所有记录，制作成 <距离, 速度> 的散点图，并在上面找到帕累托边界，用以衡量他的综合跑力。对于过去没有完成过的距离，可以通过插值的方法，进行完赛时间推算。

更进一步，我们可以用这份数据，指导跑者训练。

当距离加长的时候，平均速度必然会下降。根据 Pete Riegel 在 1997 年拟合的公式^[4]，它的形状大概是这样的。

根据 Pete Riegel 公式推导的掉速曲线

比如你得到了 10K 的最优配速，那么 20K 的最优配速大概是 -4% 左右，40K 的最优配速大概是 -8% 左右。这个公式是

T2 = T1 * ((D2/D1)^1.06)

简单来说，如果你想用 5min 配速完成 20K，那么至少要用 4:48 完成 10K。另外也需要有通过更低配速完成 30K 或者 40K 的经验，以保证身体的供能系统是有一定冗余的。

当然，因为训练特征的不同，每个人的掉速曲线也不同。无论曲线的形状如何，我们当然是希望它的帕累托边界朝右上更好。而为了将整个曲线“顶上去”，我们就需要组合不同的速度和距离，把曲线内部填满。曲线的内部越饱满，则我们在边界上的预测运动表现，就更有信心。

数据

利用 Strava 的 API^[5]，我获取了自己大概 800 条记录。这里有几个细节处理。

第一，一定要使用 Elapsed Time。这是从开表到关表的时间，包括中途暂停和休息。这个时间用于衡量运动水准，更为准确；并且，未来参加比赛也是用 Elapsed Time。Strava 默认报告的是处理过后的 Moving Time，作为一款社交软件，满足虚荣心是可以的，但并不利于掌握自己的真实情况。

第二调整距离。我自己是🔗行山^[6]和🔗越野跑^[7]比较多，所以路程是有爬升的。虽然也不时去找操场测平路速度，但数据点毕竟不够多。所以我根据距离和爬升，做了一个校准后的距离，用来统一自己的跑量。这里是根据 🔗Dr. Robert S. Mazzeo 在 Exercise Science^[8] 课后作业里的 VO2max 公式，反推出一个关系，大概每 100m 的爬升，相当于增加了 500m 的距离。这个关系的适用场景应该是爬升小（grade < 5%）、🔗跑姿^[9]最优的运动员。然而，大多数人爬坡的效率不及平路的效率。根据我自己过去的经验，大概每 100m 爬升，相当于 1K 的运动量。

再加上一些细节，就形成了下面的图。

跑力图（2020-2021）

其中，蓝色钻石是半马 1:35 完成的点位，也就是我今年的目标。红色钻石是 10K 用 43min 完成的点位，相当于是一个保守估计的 10K PB。虽然根据佳明的记录，我的 10K PB 是 41min，但里面包含了 GPS 漂移的问题，我个人经验中，因为 GPS 漂移导致距离增加在 4%-10% 之间。另外比赛当天天气状况也不定，使用 43min 做估计，应该更靠谱一些。

橙色的线，就是利用 Pete Riegel 公式，从 10K PB 开始的预测值 —— 理想的帕累托边界。

有了这个图，便可一眼看出不少问题：

帕累托训练法

主流认知中，跑者会进行两种训练，一是 HIIT（High-Intensity Interval Training），二是 LSD（Long Slow Distance）。前者可以增强肌肉能力，后者可以增强心肺功能。

一般的 HIIT 课表，会以 400、800、1000 来做强度训练。LSD 通常是 2.5 小时左右，取决于跑者能力，可能涵盖 15K-25K 的距离。

我个人，感觉这种组合，其实是帕累托训练法的一个特例，它瞄准了一小一大两个点位，把整个曲线给托起来。

更自然的方法，可能是直接去逼近理想的帕累托边界。说人话就是，按住速度加距离，或者按住距离加速度。

后者通常就是大家的测速局，在一段时间的训练后，找一个标准距离，尝试跑一个 PB。

所以，在 HIIT、LSD、测速跑之外，我会加入另外一个课表：测距跑。

比如我目标 4:30 配速完赛，并且已知 10K 保持这个配速没问题，那就可以尝试保持 11K、12K、13K，直到掉速则停止，没必要坚持完赛。根据 🔗Dr. Robert S. Mazzeo 在 Exercise Science^[10] 中提到的 overloading 原则，身体应该会对这种负荷形成适应，所以再一轮 HIIT/LSD 组合之后，可能下次的距离又提升了。

说到底，训练就是实际帕累托边界去逼近理想帕累托边界的过程。

我们这里的理论，就是提倡用更多的点位去逼近，特别是在目标的 <距离, 速度> 附近。当然，PB 的出现，有各种偶然因素，平时训练也不会用满 100% 的能力，所以目标的  <距离, 速度> 可能会留到比赛才真正出现。但如果它左方和下方的点越多，我们自然会更有信心。

Disclaimer

本篇讲的东西，未经过科学方法验证，读者需独立思考。我会在未来五周，依据这里的观察，给我的跑力图打上更多的点位，而不是跟随一个固定的课表。并在五周之后，完成人生首个正式的半马。

2021.10.24 ，香港，渣打马拉松

届时将揭晓实验结果。

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